Weingarten Map

定义 Definition

Weingarten map（魏因加滕映射/形算子）是微分几何中描述曲面弯曲的线性映射：在曲面上一点处，它把切向量映到切空间内，刻画单位法向量场沿切方向的变化率。常见表述为
[ S(v) = -, dN(v), ] 其中 (N) 是单位法向量场，(dN) 是其微分；(S) 也常被称为 shape operator（形算子）。其特征值对应主曲率，行列式与迹分别与高斯曲率和平均曲率相关。（该术语在不同教材中记号可能略有差异。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈvaɪnɡɑːrtən mæp/

例句 Examples

The Weingarten map describes how the surface normal changes along tangent directions.
魏因加滕映射描述了曲面法向量沿切方向如何变化。

In differential geometry, the eigenvalues of the Weingarten map are the principal curvatures, linking (S=-dN) to curvature invariants.
在微分几何中，魏因加滕映射的特征值就是主曲率，从而把 (S=-dN) 与各种曲率不变量联系起来。

词源 Etymology

Weingarten来自人名，指19世纪德国数学家 Julius Weingarten；相关理论与经典的Weingarten 方程（描述法向变化与第二基本形式/曲率的关系）同属一脉。“map”在此为数学上的“映射/变换”。

相关词 Related Words

• Shape Operator
• Gauss Map
• Second Fundamental Form
• Principal Curvature
• Mean Curvature
• Gaussian Curvature
• Normal Vector
• Differential Geometry

文学与著作中的出现 Literary Works

• Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces（以形算子/Weingarten map 连接主曲率与第二基本形式）
• Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry（系统讨论 (S=-dN) 与曲率）
• Barrett O’Neill, Elementary Differential Geometry（以曲面理论引入 Weingarten map/shape operator）
• Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry（讲解 Gauss map 与 Weingarten map 的关系）